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第1讲 数论的方法技巧（上）

数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有：

1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得

a=bq+r（0≤r＜b），

且q，r是唯一的。

特别地，如果r=0，那么a=bq。这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。

2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。

3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即

其中p1＜p2＜…＜pk为质数，a1，a2，…，ak为自然数，并且这种表示是唯一的。（1）式称为n的质因数分解或标准分解。

4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：

d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）。

5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。

下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。

一、利用整数的各种表示法

对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。这些常用的形式有：

1．十进制表示形式：n=an10n+an-110n-1+…+a0；

2．带余形式：a=bq+r；

4．2的乘方与奇数之积式：n=2mt，其中t为奇数。

例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998。问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？

解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a3，a2，a1，a0，则这个四位数可以写成

1000a3+100a2+10a1+a0，

它的各位数字之和的10倍是

10（a3+a2+a1+a0）=10a3+10a2+10a1+10a0，

这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是

990a3+90a2-9a0=1998，

110a3+10a2-a0=222。

比较上式等号两边个位、十位和百位，可得

a0=8，a2=1，a3=2。

所以红色卡片上是2，**卡片上是1，蓝色卡片上是8。

解：依题意，得

a+b+c＞14，

说明：求解本题所用的基本知识是，正整数的十进制表示法和最简单的不定方程。

例3 从自然数1，2，3，…，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？

解：设a，b，c，d是所取出的数中的任意4个数，则

a+b+c=18m，a+b+d=18n，

其中m，n是自然数。于是

c-d=18（m-n）。

上式说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数，即所取出的每个数除以18所得的余数均相同。设这个余数为r，则

a=18a1+r，b=18b1+r，c=18c1+r，

其中a1，b1，c1是整数。于是

a+b+c=18（a1+b1+c1）+3r。

因为18|（a+b+c），所以18|3r，即6|r，推知r=0，6，12。因为1000=55×18+10，所以，从1，2，…，1000中可取6，24，42，…，996共56个数，它们中的任意3个数之和能被18整除。

例4 求自然数N，使得它能被5和49整除，并且包括1和N在内，它共有10个约数。

解：把数N写成质因数乘积的形式

由于N能被5和72=49整除，故a3≥1，a4≥2，其余的指数ak为自然数或零。依题意，有

（a1+1）（a2+1）…（an+1）=10。

由于a3+1≥2，a4+1≥3，且10=2×5，故

a1+1=a2+1=a5+1=…=an+1=1，

即a1=a2=a5=…an=0，N只能有2个不同的质因数5和7，因为a4+1≥3＞2，故由

（a3+1）（a4+1）=10

知，a3+1=5，a4+1=2是不可能的。因而a3+1=2，a4+1=5，即N=52-1×75-1=5×74=12005。

例5 如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍数，那么N等于多少个2与1个奇数的积？

解：因为210=1024，211=2048＞2000，每一个不大于2000的自然数表示为质因数相乘，其中2的个数不多于10个，而1024=210，所以，N等于10个2与某个奇数的积。

说明：上述5例都是根据题目的自身特点，从选择恰当的整数表示形式入手，使问题迎刃而解。

二、枚举法

枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成若干种情况（分类），然后对各种情况逐一讨论，最终解决整个问题。

运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原则是不重不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等。

例6 求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。

分析与解：三位数只有900个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量。

设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为x，y，z。由于任何数除以11所得余数都不大于10，所以

x2+y2+z2≤10，

从而1≤x≤3，0≤y≤3，0≤z≤3。所求三位数必在以下数中：

100，101，102，103，110，111，112，

120，121，122，130，200，201，202，

211，212，220，221，300，301，310。

不难验证只有100，101两个数符合要求。

例7 将自然数N接写在任意一个自然数的右面（例如，将2接写在35的右面得352），如果得到的新数都能被N整除，那么N称为魔术数。问：小于2000的自然数中有多少个魔术数？

对N为一位数、两位数、三位数、四位数分别讨论。

N|100，所以N=10，20，25，50；

N|1000，所以N=100，125，200，250，500；

（4）当N为四位数时，同理可得N=1000，1250，2000，2500，5000。符合条件的有1000，1250。

综上所述，魔术数的个数为14个。

说明：（1）我们可以证明：k位魔术数一定是10k的约数，反之亦然。

（2）这里将问题分成几种情况去讨论，对每一种情况都增加了一个前提条件，从而降低了问题的难度，使问题容易解决。

例8 有3张扑克牌，牌面数字都在10以内。把这3张牌洗好后，分别发给小明、小亮、小光3人。每个人把自己牌的数字记下后，再重新洗牌、发牌、记数，这样反复几次后，3人各自记录的数字的和顺次为13，15，23。问：这3张牌的数字分别是多少？

解：13+15+23=51，51=3×17。

因为17＞13，摸17次是不可能的，所以摸了 3次， 3张扑克牌数字之和是17，可能的情况有下面15种：

①1，6，10 ②1，7，9 ③1，8，8

④2，5，10 ⑤2，6，9 ⑥2，7，8

⑦3，4，10 ⑧3，5，9 ⑨3，6，8

⑩3，7，7 (11)4，4，9 (12)4，5，8

(13)4，6，7 (14)5，5，7 (15)5，6，6

只有第⑧种情况可以满足题目要求，即

3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23。

这3张牌的数字分别是3，5和9。

例9 写出12个都是合数的连续自然数。

分析一：在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96。我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了。

解法1：用筛选法可以求得在113与127之间共有12个都是合数的连续自然数：

114，115，116，117，118，119，120，

121，122，123，124，125，126。

分析二：如果12个连续自然数中，第1个是2的倍数，第2个是3的倍数，第3个是4的倍数……第12个是13的倍数，那么这12个数就都是合数。

又m+2，m+3，…，m+13是12个连续整数，故只要m是2，3，…，13的公倍数，这12个连续整数就一定都是合数。

解法2：设m为2，3，4，…，13这12个数的最小公倍数。m+2，m+3，m+4，…，m+13分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数……13的倍数，因此12个数都是合数。

说明:我们还可以写出

13！+2，13！+3，…，13！+13

（其中n！=1×2×3×…×n）这12个连续合数来。

同样，

（m+1）！+2，（m+1）！+3，…，（m+1）！+m+1是m个连续的合数。

三、归纳法

当我们要解决一个问题的时候，可以先分析这个问题的几种简单的、特殊的情况，从中发现并归纳出一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径。这种从特殊到一般的思维方法称为归纳法。

例10 将100以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下5项工作叫做一次操作：

（1）将左边第一个数码移到数字串的最右边；

（2）从左到右两位一节组成若干个两位数；

（3）划去这些两位数中的合数；

（4）所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；

（5）所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。

问：经过1999次操作，所得的数字串是什么？

解：第1次操作得数字串711131131737；

第2次操作得数字串11133173；

第3次操作得数字串111731；

第4次操作得数字串1173；

第5次操作得数字串1731；

第6次操作得数字串7311；

第7次操作得数字串3117；

第8次操作得数字串1173。

不难看出，后面以4次为周期循环，1999=4×499+3，所以第1999次操作所得数字串与第7次相同，是3117。

例11 有100张的一摞卡片，玲玲拿着它们，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面。再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面。反复这样做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？

分析与解：可以从简单的不失题目性质的问题入手，寻找规律。列表如下：

设这一摞卡片的张数为N，观察上表可知：

（1）当N=2a（a=0，1，2，3，…）时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的最后一张，即第2a张；

（2）当N=2a+m（m＜2a）时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第2m张。

取N=100，因为100=26+36，2×36=72，所以剩下这张卡片是原来那一摞卡片的第72张。

说明：此题实质上是著名的约瑟夫斯问题：

传说古代有一批人被蛮族俘虏了，敌人命令他们排成圆圈，编上号码1，2，3，…然后把1号杀了，把3号杀了，总之每隔一个人杀一个人，最后剩下一个人，这个人就是约瑟夫斯。如果这批俘虏有111人，那么约瑟夫斯的号码是多少？

例12 要用天平称出1克、2克、3克……40克这些不同的整数克重量，至少要用多少个砝码？这些砝码的重量分别是多少？

分析与解：一般天平两边都可放砝码，我们从最简单的情形开始研究。

（1）称重1克，只能用一个1克的砝码，故1克的一个砝码是必须的。

（2）称重2克，有3种方案：

①增加一个1克的砝码；

②用一个2克的砝码；

③用一个3克的砝码，称重时，把一个1克的砝码放在称重盘内，把3克的砝码放在砝码盘内。从数学角度看，就是利用3-1=2。

（3）称重3克，用上面的②③两个方案，不用再增加砝码，因此方案①淘汰。

（4）称重4克，用上面的方案③，不用再增加砝码，因此方案②也被淘汰。总之，用1克、3克两个砝码就可以称出（3+1）克以内的任意整数克重。

（5）接着思索可以进行一次飞跃，称重5克时可以利用

9-（3+1）=5，

即用一个9克重的砝码放在砝码盘内，1克、3克两个砝码放在称重盘内。这样，可以依次称到1+3+9=13（克）以内的任意整数克重。

而要称14克时，按上述规律增加一个砝码，其重为

14+13=27（克），

可以称到1+3+9+27=40（克）以内的任意整数克重。

总之，砝码的重量为1，3，32，33克时，所用砝码最少，称重最大，这也是本题的答案。

这个结论显然可以推广，当天平两端都可放砝码时，使用1，3，

这是使用砝码最少、称重最大的砝码重量设计方案。

练习1

1．已知某个四位数的十位数字减去1等于其个位数字，个位数字加2等于百位数字，这个四位数的数字反着顺序排列成的数与原数之和等于9878。试求这个四位数。

3．设n是满足下列条件的最小自然数：它们是75的倍数且恰有75个

4．不能写成两个奇合数之和的最大偶数是多少？

5．把1，2，3，4，…，999这999个数均匀排成一个大圆圈，从1开始数：隔过1划掉2，3，隔过4，划掉5，6……这样每隔一个数划掉两个数，转圈划下去。问：最后剩下哪个数？为什么？

6．圆周上放有N枚棋子，如右图所示，B点的一枚棋子紧邻A点的棋子。小洪首先拿走B点处的1枚棋子，然后顺时针每隔1枚拿走2枚棋子，连续转了10周，9次越过A。当将要第10次越过A处棋子取走其它棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子。若N是14的倍数，则圆周上还有多少枚棋子？

7．用0，1，2，3，4五个数字组成四位数，每个四位数中均没有重复数字（如1023，2341），求全体这样的四位数之和。

8．有27个国家参加一次国际会议，每个国家有2名代表。求证：不可能将54位代表安排在一张圆桌的周围就座，使得任一国的2位代表之间都夹有9个人。

练习1

1.1987。

（a+d）×1000+（b+c）×110+（a+d）= 9878。

比较等式两边，并注意到数字和及其进位的特点，可知

a+d=8，b+c=17。

已知c-1=d，d+2=b，可求得

a=1，b=9，c=8，d=7。

即所求的四位数为1987。

2.1324，1423，2314，2413，3412，共5个。

3.432。

解：为保证n是75的倍数而又尽可能地小，因为75=3×5×5，所以可设n有三个质因数2，3，5，即n=2α×3β×5γ，其中α≥0，β≥1，γ≥2，并且

（α+1）（β+1）（γ+1）=75。

易知当α=β=4，γ=2时，符合题设条件。此时

4.38。

解：小于38的奇合数是9，15，21，25，27，33。

38不能表示成它们之中任二者之和，而大于38的偶数A，皆可表示为二奇合数之和：

A末位是0，则A=15+5n，

A末位是2，则A=27+5n，

A末位是4，则 A=9+5n，

A末位是6，则A=21+5n，

A末位是8，则A=33+5n，

其中n为大于1的奇数。因此，38即为所求。

5.406。

解：从特殊情况入手，可归纳出：如果是3n个数（n为自然数），那么划1圈剩下3n-1个数，划2圈剩下3n-2个数……划（n-1）圈就剩3个数，再划1圈，最后剩下的还是起始数1。

36＜999＜37，从999个数中划掉（999-36=）270个数，剩下的（36=） 729个数，即可运用上述结论。

因为每次划掉的是2个数，所以划掉270个数必须划135次，这时划掉的第270个数是（135×3=）405，则留下的36个数的起始数为406。所以最后剩下的那个数是406。

6.23枚。

解：设圆周上余a枚棋子。因为从第9次越过A处拿走2枚棋子到第10次将要越过A处棋子时小洪拿走了2a枚棋子，所以，在第9次将要越过A处棋子时，圆周上有3a枚棋子。依此类推，在第 8次将要越过 A处棋子时，圆周上有32a枚棋子……在第1次将要越过A处棋子时，圆周上有39a枚棋子，在第1次将要越过A处棋子之前，小洪拿走了[2(39a-1)+1]枚棋子，所以N=2(39a-1)+1+39a=310a-1。

若N=310a=59049a-1是14的倍数，则N就是2和7的公倍数，所以a必须是奇数；

若N=（7×8435+4）a-1=7×8435a+4a-1是 7的倍数，则4a-1必须是7的倍数，当a=21，25，27，29时，4a-1不是7的倍数，当a=23时，4a-1=91=7×13，是7的倍数。

当N是14的倍数时，圆周上有23枚棋子。

7.259980。

解：用十进位制表示的若干个四位数之和的加法原理为：

若干个四位数之和=千位数数字之和×1000+

百位数数字之和×100+

十位数数字之和×10+

个位数数字之和。

以1，2，3，4中之一为千位数，且满足题设条件的四位数有4×3×2=24（个）。这是因为，当千位数确定后，百位数可以在其余4个数字中选择；千、百位数确定后，十位数可以在其余3个数字中选择；同理，个位数有2种可能。因此，满足条件的四位数的千位数数字之和为

（1+2+3+4）×4×3×2=240。

以1，2，3，4中之一为百位数时，因为0不能作为千位，所以千位数也有3种选择；十位数也有3种选择（加上0）；个位数有2种选择。因此，

百位数数字之和=（1+2+3+4）×18=180。

同理，十位数数字之和、个位数数字之和都是180。

所以满足条件的四位数之和为

240×1000+180×（1+10+100）= 259980。

8.将54个座位按逆时针编号：1，2，…，54。由于是围圆桌就座，所以从1号起，逆时针转到55，就相当于1号座；转到56，就相当于2号座；如此下去，显然转到m，就相当于m被54所除的余数号座。

设想满足要求的安排是存在的。不妨设1和11是同一国的代表，由于任一国只有2名代表，于是11和21不是同一国代表，下面的排法是：

21和31是同一国的代表；

31和41不是同一国的代表；

41和51是同一国的代表；

51和61不是同一国的代表（61即7号座）。

由此，20k+1和20k+11是同一国的代表，若20k+1，20k+11大于54，则取这个数被54除的余数为号码的座位。

取k=13，则261和271是同一国的，而261被54除的余数是45，271被54除的余数是1，这就是说，1号座与45号座是同一国的代表，而我们已设1号与11号座是同一国的代表。这样，1号、11号、45号的三位代表是同一国的，这是不可能的。所以题目要求的安排不可能实现。

第2讲 数论的方法技巧（下）

四、反证法

反证法即首先对命题的结论作出相反的假设，并从此假设出发，经过正确的推理，导出矛盾的结果，这就否定了作为推理出发点的假设，从而肯定了原结论是正确的。

反证法的过程可简述为以下三个步骤：

1．反设：假设所要证明的结论不成立，而其反面成立；

2．归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；

3．结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。

运用反证法的关键在于导致矛盾。在数论中，不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。

解：如果存在这样的三位数，那么就有

100a+10b+c=（10a+b）+（10b+c）+（10a+c）。上式可化简为 80a=b+c，而这显然是不可能的，因为a≥1，b≤9，c≤9。这表明所找的数是不存在的。

说明：在证明不存在性的问题时，常用反证法：先假设存在，即至少有一个元素，它符合命题中所述的一切要求，然后从这个存在的元素出发，进行推理，直到产生矛盾。

例2 将某个17位数的数字的排列顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加。试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数。

解：假设得到的和中没有一个数字是偶数，即全是奇数。在如下式所示的加法算式中，末一列数字的和d+a为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b+c≤9。将已知数的前两位数字a，b与末两位数字c，d去掉，所得的13位数仍具有“将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数”这一性质。照此进行，每次去掉首末各两位数字，最后得到一位数，它与自身相加是偶数，矛盾。故和的数字中必有偶数。

说明：显然结论对（4k+1）位数也成立。但对其他位数的数不一定成立。如12+21，506+605等。

例3 有一个魔术钱币机，当塞入1枚1分硬币时，退出1枚1角和1枚5分的硬币；当塞入1枚5分硬币时，退出4枚1角硬币；当塞入1枚1角硬币时，退出3枚1分硬币。小红由1枚1分硬币和1枚5分硬币开始，反复将硬币塞入机器，能否在某一时刻，小红手中1分的硬币刚好比1角的硬币少10枚？

解：开始只有1枚1分硬币，没有1角的，所以开始时1角的和1分的总枚数为 0+1=1，这是奇数。每使用一次该机器，1分与1角的总枚数记为Q。下面考查Q的奇偶性。

如果塞入1枚1分的硬币，那么Q暂时减少1，但我们取回了1枚1角的硬币（和1枚5分的硬币），所以总数Q没有变化；如果再塞入1枚5分的硬币（得到4枚1角硬币），那么Q增加4，而其奇偶性不变；如果塞入1枚1角硬币，那么Q增加2，其奇偶性也不变。所以每使用一次机器，Q的奇偶性不变，因为开始时Q为奇数，它将一直保持为奇数。

这样，我们就不可能得到1分硬币的枚数刚好比1角硬币数少 10的情况，因为如果我们有P枚1分硬币和（P+10）枚1角硬币，那么1分和1角硬币的总枚数为（2P+10），这是一个偶数。矛盾。

例 4在3×3的方格表中已如右图填入了9个质数。将表中同一行或同一列的3个数加上相同的自然数称为一次操作。问：你能通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数吗？为什么？

解：因为表中9个质数之和恰为100，被3除余1，经过每一次操作，总和增加3的倍数，所以表中9个数之和除以3总是余1。如果表中9个数变为相等，那么9个数的总和应能被3整除，这就得出矛盾！

所以，无论经过多少次操作，表中的数都不会变为9个相同的数。

五、构造法

构造法是一种重要的数学方法，它灵活多样，数论中的许多问题都可以通过构造某些特殊结构、特殊性质的整数或整数的组合来解决。

例5 9999和99！能否表示成为99个连续的奇自然数之和？

解：9999能。因为9999等于99个9998之和，所以可以直接构造如下：

9999=（9998-98）+（9998-96）+…+

=（9998-2）+9998+（9998+2）+…+

=（9998+96）+（9998+98）。

99！不能。因为99！为偶数，而99个奇数之和为奇数，所以99！不能表示为99个连续奇数之和。

说明：利用构造法证明存在性问题，只要把满足题设要求的数学对象构造出来就行。

例6 从1，2，3，…，999这999个数中，要求划去尽量少的数，使得余下的数中每一个数都不等于另外两个数的乘积。应划去哪些数？

解：我们可划去2，3，…，30，31这30个数，因为划去了上述这30个数之后，余下的数中，除1以外的任何两个数之积将大于322=1024＞999。

另一方面，可以通过构造三元数组来证明30是最少的个数。

（2，61，2×61），（3，60，3×60），（4，59，4×59），…，

（30，33，30×33），（31，32，31×32）。

上面写出的这些数都是互不相同的，并且这些数中的最大数为 31×32=992。如果划去的数少于30个，那么上述三元数组至少剩下一个，这样就不满足题设条件。所以，30是最少的个数。

六、配对法

配对的形式是多样的，有数字的凑整配对，也有集合间元素与元素的配对（可用于计数）。传说高斯8岁时求和（1+2+…+100）首创了配对。像高斯那样，善于使用配对技巧，常常能使一些表面上看来很麻烦，甚至很棘手的问题迎刃而解。

例7 求1，2，3，…，9999998，9999999这9999999个数中所有数码的和。

解：在这些数前面添一个数0，并不影响所有数码的和。将这1000万个数两两配对，因为0与9999999，1与9999998，…，4999999与5000000各对的数码和都是9×7=63。这里共有5000000对，故所有数码的和是63×5000000=315000000。

例8 某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号。若号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”。例如号码 0734，因 0+7=3+4，所以这个号码的购物券是幸运券。试说明，这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除。

解：显然，号码为9999的是幸运券，除这张幸运券外，如果某个号码n是幸运券，那么号码为m=9999-n的购物券也是幸运券。由于9999是奇数，所以m≠n。

由于m+n=9999，相加时不出现进位，所以除去号码是9999这张幸运券之外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均为9999，即所有幸运券号码之和是9999的倍数。

因为9999=99×101，所以所有幸运券号码之和能被101整除。

试说明分子m是质数89的倍数。

解法一：仿照高斯求和（1+2+3+…+n）的办法，将和

①②两式相加，得

从而

2m×88！=89×k（k是正整数）。

因为89为奇质数，所以89不能整除 88！，从而89|m。

解法二：作配对处理

将括号内的分数进行通分，其公分母为

1×88×2×87×3×86×…×44×45=88！，

从而

m×88！=89×k（k=n×q）。

因为89为奇质数，所以89不能整除88！，从而89|m。

七、估计法

估计法是用不等式放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，以获取有关量的本质特征，达到解题的目的。

在数论问题中，一个有限范围内的整数至多有有限个，过渡到整数，就能够对可能的情况逐一检验，以确定问题的解。

求这个数，并求出满足题意的5组不同的真分数。

解：因每一真分数满足

而所求的数整S是四个不同的真分数之和，因此2＜S＜4，推知S=3。于是可得如下5组不同的真分数：

例11 已知在乘积1×2×3×…×n的尾部恰好有106个连续的零，求自然数n的最大值。

分析：若已知n的具体数值，求1×2×…×n的尾部零的个数，则比较容易解决，现在反过来知道尾部零的个数，求n的值，不大好处理，我们可以先估计n大约是多少，然后再仔细确定n的值。

因此，乘积1×2×3×…×400中含质因数5的个数为80+16+3=99（个）。又乘积中质因数2的个数多于5的个数，故n=400时，1×2×…×n的尾部有99个零，还需 7个零，注意到425中含有2个质因数5，所以

当n=430时，1×2×…×n的尾部有106个零；

当n=435时，1×2×…×n的尾

介绍《数学奥林匹克命题人讲座》、《奥赛经典》、《高中数学竞赛专题讲座》、《数学奥林匹克小丛书》的优

浙江省乐清市北白象镇中学（325603）

孙建克（986233556）

趣味数学以带有强烈的游戏色彩知名于世。雅可比的教本：《数学——人类的魄力》获得了极大成功，其部分原因无疑是他巧妙地把趣味性材料揉进了传统的数学问题中。

现在在教师会议和期刊里，趣味数学的文章也越来越多。趣味数学具有重大教育学价值这一点也正在被越来越多的人所认识和认可。

接下来笔者将在教育学意义上的趣味数学这个范畴内，结合本人的教学实践从"趣味数学的内容"、"趣味数学的运用"和"趣味数学的收集"三方面谈谈趣味数学助力数学教育的一些看法。

一、趣味数学的内容

1、数学史及数学家的轶事趣闻。

数学史是紧随人类史展开的，在浩如烟海的数学史料中，有一部分内容非常有趣并且紧贴数学教材，那就是数学史及数学家的轶事趣闻。这方面的素材是趣味数学最重要的组成内容之一。

2、数学学科知识本身趣味问题。

从某种意义上讲，数学就是由数学问题搭建起来的，其中不乏含有大量的趣味问题在历史上赫赫有名，解决和欣赏这类趣味问题本身就是一件很有味道的事情，也是趣味数学的重要内容之一。

3、数学与其它学科的交集趣闻。

数学应用广泛性的特点，决定了数学必然会与其它学科（含文科）产生交集，也必会碰撞出趣事趣闻，这方面的题材涉猎面广泛新颖，需要包括数学教师在内的各方面人才的通力合作去深挖开发。

4、用数学解决问题的活动项目。

这块趣味数学的内容区别于前三项的最大特点是"活动"，学生是主角！"趣味性"体现在学生利用学到的数学知识去"行动"（当然要动脑）达到成功后的"愉悦体验"。有数学课堂趣味活动、数学课外趣味活动、数学趣味运动会等。

二、"趣味数学"的运用

1、数学教学课堂的点缀运用。

方式一：按照教学内容自然导入。

这方面是所有数学教师最得心应手的，只要稍微大略地了解一些数学史和一些与教材有关的著名数学家的轶闻趣事，针对当时所教的内容导入这些"趣味数学"，"数学题海"中的学生必会听得津津有味！还会由衷地佩服老师的知识"渊博"呢。

教到"负数"时我会提到我国的《九章算术》和刘徽；西方的《几何原本》和欧几里得在讲"证明"时会重点介绍；讲到"尺规作图"时"三大不可能作图问题"是必说的；轮到"一元一次方程"开篇时一定会拉出"丢番图的墓碑"。

同样教到"勾股定理"、"无理数"、"直角坐标系"、"根与系数的关系"、"正多边形（含正17边形）"、"一元二次方程"、"概率初步"、"相似三角形"等这些教学内容时，我肯定会把毕达哥拉斯、喜帕索斯、笛卡尔、韦达、高斯、花拉子米和赵爽、费马和帕斯卡、泰勒斯等这些伟大的数学家的贡献及他们的趣事趣闻介绍给学生。让学生感到数学不是枯燥乏味的单纯数字和图形，它的背后可是由这些个性鲜活的数学家一手托起来的。

这里特别推荐一下洋葱数学，它里面有一部分引入视频是讲数学史和数学家的故事的，采取动画形式，比我们教师口头讲来的精彩，可以直接拿来在课堂上播放，效果会更好！

方式二：按照具体情境智慧引入。

这种方式在课堂上运用"趣味数学"比起上面的要困难的多，需要教师平时广闻博识，既要具备渊博的"趣味数学"知识储备，还要有课堂临场发挥的机智，不能为了插入而插入，那样会打断正常的教学秩序。换句话说这种引入是有前提的，比如课堂上学生听课听的有些疲惫不专心了，一节课任务提前完成了，学生上课认真要奖励等等这些情况下，一般我都会针对当时的章节教学内容插进趣味数学。

比如2014年5月份在网络上收集到一个"手机尾号暴露了你的年龄"的趣题，内容是这样："[1] 看一下你手机号的最后一位；[2] 把这个数字乘上2；[3] 然后加上5；[4] 再乘以50；[5]把得到的数目加上1764；[6]最后一个步骤，用这个数目减去你出生的那一年。现在你看到一个三位数的数字。 第一位数字是你手机号的最后一位，接下来就是你的实际年龄！"就分享给学生做，当时的学生已经临近中考，复习任务重，那天晚自习只是让他们放松一下，效果很好，他们独立解得答案知道秘密后开怀大笑，原来数学可以这么玩！

下面再举两个跟日期有关的例子。

2015年12月21日，学生连堂课考试提前完成，离下课还有十来分钟，为了奖励他们决定不讲数学题目了就问今天是几月几号？学生如实回答后我就叫他们去算算2015年元旦开始到今天共几天？学生算出答案355天后我把答案写在黑板上，然后在355下面写上113，并在两数中间添上分数线，继续让学生按计算器算出113分之355的小数值。我把学生很快报出的答案3.1415926···写在黑板上。马上有学生发现这不就是π的近似值吗？对！大家认为今天的日期特殊吗？应该给取个特别的名字吧？，于是什么π日、祖冲之日、圆周率日等名称就出来了，最后我公布了正确答案：12月21日是中国圆周率日！学生一片释然。当然后面还讲了大多数国家定3月14日为圆周率日，有的定为7月22日（约率）而我们国家定为12月21日这个回文数日期主要还是想得出113分之355（密率）中的分子355，以纪念我国数学家祖冲之求出π值对世界的贡献。

第二个例子是2017（分享错成2016年了）年3月8日国际妇女节，那天早上在家无意之中看到日本趣味数学作家樱井进著的《超有趣的让人睡不着的数学》一书的封面，上面有一个六角幻方，由19个正六边形紧密相连成蜂窝状，把1-19共19个数填进去，使横5线、撇5线、捺5线共15条线上的数字之和都等于38！于是在下午的课堂上趁学生疲倦之时展示这个幻方，达到提神醒脑欣赏的功效，当然当天的三八节也特别有意义，他们会终身难忘！

2、数学兴趣小组的专题运用。

第一种方式：数学专题讲座。

数学课堂上讲"趣味数学"只是"辅料点缀"，主要起到活跃课堂气氛、减少上课疲劳、增加课堂趣味的作用，时间上一般一节课控制在5-10钟以内，可以说只是起到"零食"的作用。要想达到"正餐"的效果，就要开展专题的讲座，这样时间上有保障（一般45-60分），内容上可以做到系统专题化，本人的《数学与文史趣闻》讲座就是这方面的一个运用。

第二种方式：数学专题视频。

这方面还是采取"拿来主义"的好，比如BBC制作的《数学的故事1-4》和我国制作的《从数学三次危机认识数学》等该类视频就是很好的材料，可以在运动会期间的晚自习，或期中月考后没作业的晚自习看，学生既达到放松的目的，又学到课堂上没有的知识，一举两得。当然如果确实在学校没时间看，教师可以把视频网址分享给学生，让他们双休在家看或当假期作业，看完后写个观后感以起到监督作用，这些举措根据我的实践非常有效。

《数学与文史趣闻》链接

3、数学课外活动的体验运用。

（1）数学课外活动课

这方面的活动内容五花八门，有测旗杆高，纸牌游戏，魔方，幻方，数独，七巧板，九连环，华容道，算24点，折纸等等，只要在玩的过程中让学生体会到数学的"威力"，那么反过来学生就会更加崇尚数学，喜欢数学，趣味数学目标达成！

（2）数学STEAM运动会

这种方式是趣味数学在学校最大型的数学课外活动了，需要学校出面组织，在我国还处于刚刚起步阶段。据我目前所知河北省邢台市第八中学在这方面走在全国的前列，已经举办三届，由该校贾玉民老师设计总负责。

三、"趣味数学"的收集

1、纸质材料。"趣味数学"的收集从纸质材料看包含书籍、杂志和报刊，主要是书籍。笔者从初中开始到现在近30年来一直有收集跟数学特别是趣味数学有关的书籍的爱好，至今收藏量达400余本，学段跨小学至大学，内容含数学史、数学及数学家故事、数学趣题、数学应用、数学文化等。

2、网络材料。随着互联网时代的到来，与传统纸质材料相比，网络上找需要的材料不仅方便和快捷，而且呈现的方式更加形象多样，除了电子文档，还有（PPT），音频、视频等。

如果把学生课堂上所学的跟考试有关的数学内容叫"教学数学"，那么本文所讲的"趣味数学"的定位就更加清晰了，就是要"趣味数学"引入我们的数学课堂，使"枯燥"的数学课堂不"枯燥"！从而达到提高学生学习数学的兴趣，跟洋葱数学的初衷和目的一样，助力数学教育！

（本文是作者在2017年10月21日晚，为HOPE卓越教师主群和直播群两群所做的题为《不枯燥的数学课堂是怎样炼成的》的讲座分享内容整理而成。于2017年10月24日被《》"温州"专栏收录。2017年12月该文被《成功》杂志（国内统一刊号：CN42-1560/C.国际标准刊号：ISSN1671-3052）发表，并获优秀论文一等奖。）

《数学奥林匹克命题人讲座》是上海科教出版社最新出版的一套丛书，还没有全部出齐。我认为是最好的丛书了。作者中有名的有单樽，熊斌，冯志刚，还有平时出书不多的陈计，叶中豪。叶的书还没出，（叫《重心坐标与平面几何》，用重心坐标解平几题很少见，《俄罗斯平面几何问题集》中倒有这么一章）陈的不等式很有水平。还有陆洪文，施咸亮是老一辈的数学大师，在数学竞赛上也许不专业，但数学素养高。其它作者(如田廷彦，刘培杰，唐立华也很厉害）。这是一套能与上世纪上海教育出版社的中学生文库比肩的丛书。题目难，原创性强，极好。

《奥赛经典》是湖南师大出的，同学中使用率高。叶军的《高级教程》出的早，最具特色，代数部分很好。新出的《几何》，《代数》，《数论》，《组合》是湖南当地最强的沈文选，冷钢松，张垚 写的，《组合》最好，是张垚写的。《真题分析》不好，别买。

《高中数学竞赛专题讲座》，浙大出的奥数书太多太杂，感觉在骗钱，我都没读过。

《数学奥林匹克小丛书》是指华东师大的蓝皮丛书吗？出的较早，都很好，中规中矩，硬要说缺点就是有点简单。

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